Distributivité et division : résoudre un compte "par le haut"

Bonjour à tous,

Nous allons développer aujourd'hui un nouveau pan de la distributivité. Il va de soi que vous devez d'abord maîtriser la distributivité simple (voir l'article dédié) et être relativement habile en chiffres avant d'aller plus loin. Il est en effet question ici d'aborder les comptes "par le haut" en mettant la distributivité à notre service, qui s'utilise usuellement avec la multiplication mais peut également se combiner avec la division. Préparez-vous donc à atteindre de nouveaux sommets !

Cet article m'est entre autres inspiré par un compte fort remarquable rencontré une fois à l'émission :

9 3 5 3 25 9 - 691

Ce compte n'admet qu'une unique solution, "par le haut". La première idée qu'on peut avoir est de s'approcher du nombre à trouver via la table des 25, idéalement à 25 x 28 = 700 tout en gardant un 9 de côté, ce qui n'est hélas pas réalisable. L'autre approche à 25 x 27 = 675 semble plus prometteuse, d'autant que 27 = 3 x 9 se construit directement. Toutefois, là encore, même en distribuant, on ne peut aboutir. On peut alors remarquer que 27 est aussi égal à 9 x 9 / 3, et ainsi :

25 x 9 x 9 / 3 = 675.

Il faut rajouter 16 à ce résultat, ce qui revient à rajouter 3 x 16 = 48 avant de diviser par 3. Il s'agit donc de distribuer sur le produit 25 x 9 x 9 = 2025 pour rajouter 48 = 9 x 5 + 3 :

25 x 9 = 225,

225 + 5 = 230,

230 x 9 = 2070,

2070 + 3 = 2073,

2073 / 3 = 691.

Cela n'a en soi rien d'insurmontable (si ce n'est qu'il faut certes une certaine dextérité pour le calcul) : nous n'avons fait que distribuer sur un produit comme à l'accoutumée, mais cette fois-ci pour compenser ce qui manque avant de diviser.

La principale difficulté réside dans le fait de trouver une telle division, si tant est qu'il en existe une. Cela est plus facile dans certains cas particuliers qui s'y prêtent bien, notamment lorsque l'on dispose de plusieurs grosses plaques, comme dans l'exemple ci-après. On en reparlera plus en détail dans de futurs articles.

Pour aller plus loin...

Il est possible de pousser le vice plus loin, et d'envisager des divisions qui ne tombent pas juste, quitte à compenser (au moyen éventuel d'une distributivité) avant de diviser pour pouvoir effectivement tomber juste. Un exemple vaudra mieux que mille explications :

2 1 4 25 4 75 - 945

Il n'est à nouveau pas possible d'obtenir ce compte par les méthodes usuelles, et même difficile de s'approcher (essayez donc, personnellement je n'ai que 948). Pourtant, si l'on sait que 75 x 25 / 2 = 937.5 (et je vous garantis qu'il est très utile de le savoir), on parvient au bon compte sans mal. Il faut en effet rajouter 7.5, ce qui revient à rajouter 2 x 7.5 = 15 avant de diviser par 2. Obtenir 15 avec 4 4 1 est dans vos cordes !

75 x 25 = 1875,

4 x 4 = 16,

16 - 1 = 15,

1875 + 15 = 1890,

1890 / 2 = 945.

Plutôt cool, non ?

Exercices

On termine par quelques comptes additionnels pour vous entraîner à passer "par le haut". Comme il est difficile de trouver des comptes se résolvant uniquement de cette manière (ils sont en effet assez rares), certains d'entre eux admettent d'autres solutions "standard" (mais pas forcément plus faciles ni immédiates). Les solutions seront données en commentaire de l'article.

• 25 2 1 2 50 1 - 640
• 4 25 2 75 9 2 - 931
• 8 9 25 9 2 8 - 913
• 10 5 50 5 100 10 - 793
• 10 5 50 5 100 10 - 809

Bonne journée !