Bonjour à tous,
Nous allons aujourd'hui développer l'une des techniques les plus essentielles, si ce n'est la technique par excellence, pour la résolution des comptes : la distributivité. Que nous en soyons conscients ou non, nous utilisons tous la distributivité dans nos calculs. Nous allons tâcher de clarifier ce concept et de rendre son utilisation plus systématique afin d'aborder les tirages de chiffres de manière constructive.
Avant de poursuivre votre lecture, je vous suggère de lire ou de relire le précédent article sur les tables de 25, 50, 75 et 100, si vous ne les maîtrisez pas encore. Comme déjà mentionné, l'utilisation combinée de ces tables et de la distributivité permet de résoudre de très nombreuses situations.
La distributivité est une propriété relative aux opérations de multiplication et d'addition/soustraction. Elle repose formellement sur les deux identités
La distributivité est une propriété relative aux opérations de multiplication et d'addition/soustraction. Elle repose formellement sur les deux identités
(a + k) x b = a x b + k x b,
(a - k) x b = a x b - k x b,
où a, b et k désignent des nombres (entiers). On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition/la soustraction. Par exemple,
(50 + 2) x 17 = 50 x 17 + 2 x 17 = 850 + 34 = 884,
(75 - 3) x 11 = 75 x 11 - 3 x 11 = 825 - 33 = 792.
Dans notre jeu, la distributivité se révèle particulièrement utile dans la mesure où elle permet de transformer un produit a x b à l'aide d'un troisième nombre k. Le mieux pour bien comprendre ce processus est de l'appliquer sur des exemples concrets.
Exemple 1
Commençons en douceur :
6 7 100 - 642
Le produit de base est 6 x 100 = 600, auquel on doit rajouter 42 = 6 x 7. La distributivité s'effectue ainsi :
100 + 7 = 107,
107 x 6 = 642.
Exemple 2
Compliquons un peu les choses :
2 6 7 75 - 949
On va chercher à s'approcher au plus près de 949 par la table de 75, à 975 = 13 x 75. Voici notre produit de base. On doit ensuite lui retrancher 26 = 2 x 13. Il s'agit donc à nouveau d'une distributivité :
6 + 7 = 13,
75 - 2 = 73,
73 x 13 = 949.
Cet exemple est intéressant dans la mesure où même sans savoir par cœur que 949 = 13 x 73, la distributivité permet d'arriver à ce résultat, sans d'ailleurs exiger de gros efforts de calcul.
Exemple 3
Augmentons encore la difficulté :
2 3 7 8 9 - 529
Partons du produit de base 7 x 8 x 9 = 504, auquel on doit rajouter 25. La différence est que cette fois-ci, il ne comporte non plus deux mais trois facteurs, ce qui nous offre davantage de possibilités de distributivité. En distribuant par rapport à 7, on peut seulement rajouter 3 x 7 + 2 = 23, de même qu'en distribuant par rapport à 8, on peut seulement rajouter 3 x 8 = 24. En revanche, on peut rajouter 25 en distribuant par rapport à 9 par 3 x 9 - 2 :
7 x 8 = 56,
56 + 3 = 59,
59 x 9 = 531,
531 - 2 = 529.
En fin de compte, on a distribué sur le produit 56 x 9.
Exemple 4
Pour terminer, un exemple grandeur nature !
1 2 4 7 8 8 - 721
Comme souvent pour les comptes sans grosse plaque, multiplions tout d'abord deux des plus grosses plaques, et cherchons à multiplier à nouveau pour s'approcher le plus possible de 721. En l'occurrence, on peut commencer par 8 x 8 = 64, qu'on va essayer de multiplier par 11 pour s'approcher à 11 x 64 = 704, et justement 11 = 4 + 7. Notre produit de base est ainsi 8 x 8 x 11 = 704, auquel on doit rajouter 17. On distribue pour cela par rapport à 8 pour construire 17 = 2 x 8 + 1 :
7 + 4 = 11,
8 x 11 = 88,
88 + 2 = 90,
90 x 8 = 720,
720 + 1 = 721.
On a en fait distribué sur le produit 88 x 8.
Bilan
J'espère que le principe de la distributivité vous apparaît désormais clair, et que ces différents exemples vous auront sensibilisé à tout son intérêt. On a pu observer qu'elle s'applique en deux temps : il s'agit tout d'abord d'identifier un produit de base de deux facteurs ou plus, puis de distribuer par rapport au facteur adéquat afin de transformer ce produit. La difficulté provient parfois du fait de trouver un produit convenable, auquel cas il peut être judicieux d'en essayer plusieurs. Les grosses plaques fournissent généralement de bonnes bases (comme l'explique l'article sur les tables de 25, 50, 75 et 100 déjà cité). Quoiqu'il en soit, même si la distributivité n'est pas la réponse à tous les comptes, elle permet toutefois très souvent d'obtenir au moins une bonne approche. Il ne vous reste plus qu'à vous entraîner pour la maîtriser complètement !
Exercices
En parlant d'entraînement, voici quelques comptes pour vous exercer. Essayez de distribuer !
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire
Pour signer votre commentaire, sélectionnez "Nom/URL" dans le menu déroulant juste en dessous de la boîte de saisie de texte, et complétez le champ "Nom" qui apparaît alors.