Les critères de divisibilité

Bonjour à tous,

La divisibilité est un outil très utile pour la résolution des comptes : en effet, identifier une divisibilité du nombre à trouver permet de se ramener à un nombre plus petit à construire après division, et par voie de fait à un problème potentiellement plus simple. La première étape est donc d'identifier une divisibilité, et pour ce faire, on peut s'aider de critères existants. C'est l'objet de l'article du jour.

La notion de divisibilité

Je pourrais m'étendre en long et en large sur la notion de divisibilité, mais je vais tâcher d'aller à l'essentiel pour les besoins de notre jeu.

Commençons par un peu de vocabulaire pour bien comprendre de quoi il est question. Étant donnés deux nombres entiers n et d, dire que d est un diviseur de n ou que n est divisible par d est équivalent à dire que n est un multiple de d. Par exemple, les diviseurs de 42 dont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42. On dit par ailleurs que n est un nombre premier s'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. (À ce titre, 1 n'est pas premier, car il n'admet qu'un seul diviseur.) Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc.

Les nombres à trouver premiers sont les plus embarrassants dans un tirage de chiffres, car ils ne peuvent justement pas être divisés. En présence d'un tel nombre, il faut s'appuyer sur d'autres méthodes que la divisibilité, ou bien trouver un nombre proche qui lui admet des diviseurs intéressants. Par exemple, 839 est un nombre premier, mais 840 admet de nombreux diviseurs : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, etc.; il est donc potentiellement plus facile de s'approcher à 840, l'idéal étant de garder un 1 en réserve à retrancher en dernier lieu.

Les critères de divisibilité

Pour trouver des diviseurs d'un nombre donné, il existe des critères, surtout intéressants pour les petits diviseurs potentiels. Nous ne considérerons que des nombres à 3 chiffres que nous écrirons sous la forme ABC, où A, B et C représentent chacun des chiffres. Voici la liste des critères de divisibilité par les nombres plus petits que 11 (les nombres premiers sont en rouge) :

	ABC est divisible par...
2	...si C est pair.
3	...si A + B + C est divisible par 3. Exemple : ABC = 741, A + B + C = 7 + 4 + 1 = 12 est divisible par 3.
4	...si BC est divisible par 4. Exemple : ABC = 352, BC = 52 est divisible par 4.
5	...si C est égal à 0 ou 5.
6	...si ABC est divisible par 2 et par 3.
7	...si AB - 2 x C est divisible par 7. Exemple : ABC = 546, AB - 2 x C = 54 - 2 x 6 = 42 est divisible par 7.
8	...si BC - 4 x A est divisible par 8. Exemple : ABC = 672, BC - 4 x A = 72 - 4 x 6 = 48 est divisible par 8.
9	...si A + B + C est divisible par 9. Exemple : ABC = 837, A + B + C = 8 + 3 + 7 = 18 est divisible par 9.
10	...si C est égal à 0.
11	...si A + C - B est divisible par 11. Exemple : ABC = 649, A + C - B = 6 + 9 - 4 = 11 est divisible par 11.

Bien entendu, une fois qu'on a trouvé un diviseur (si diviseur il y a, gare aux nombres premiers !), on peut diviser et continuer à chercher des diviseurs. Par exemple, 936 est divisible par 2 : 936 = 2 x 468; on peut continuer à diviser 468 par 2, ou bien chercher d'autres diviseurs de 468. Il faut également prendre en compte les plaques présentes dans le tirage, qui peuvent suggérer de privilégier certaines divisibilités plutôt que d'autres. Ainsi, si l'on dispose déjà d'un 9, peut-être va-t-on préférer diviser 936 par 9 plutôt que par 2 ou tout autre diviseur. Tout est une question de savoir s'adapter à chaque tirage (ce qui n'est bien sûr pas évident et requiert de la pratique !).

Exercices

Essayez de résoudre les comptes suivants à l'aide des divisibilités (voir les solutions en commentaire) :

• 1 1 3 9 8 2 - 279
• 100 75 1 10 50 1 - 814
• 6 1 3 9 2 3 - 441
• 1 6 3 5 7 6 - 688
• 10 50 3 5 10 1 - 808
• 1 7 4 2 6 3 - 645

La divisibilité fera à nouveau l'objet de futurs articles; j'aborderai entre autres les produits de deux nombres premiers supérieurs à 13, qui peuvent produire des comptes très sélectifs.

Bonne journée !