Bonjour à tous,
Après "le mot le plus long", voici "le nombre le plus grand" ! Plus sérieusement, la problématique est la suivante : comment construire le plus grand nombre possible à partir des plaques d'un tirage de chiffres donné ? La méthode est entièrement systématique pour approcher le plus possible les comptes à trouver trop grands, dont les plaques sont très petites, tel que le suivant, pour lequel le plus grand nombre atteignable est 840 :
1 2 2 4 5 7 - 937
Afin de bien appréhender cette méthode, distinguons trois cas.
Cas n°1 : il n'y a aucun 1
Il suffit de multiplier toutes les plaques. Par exemple :
2 2 3 3 4 5 - 811
2 x 2 = 4,
4 x 3 = 12,
12 x 3 = 36,
36 x 4 = 144,
144 x 5 = 720.
Cas n°2 : il y a au moins un 1 et au plus un seul 2
On ajoute 1 à la plus petite plaque (éventuellement un autre 1), et on multiplie tout comme précédemment. Par exemple :
1 3 3 4 4 5 - 993
1 + 3 = 4,
4 x 3 = 12,
12 x 4 = 48,
48 x 4 = 192,
192 x 5 = 960;
1 1 2 5 5 9 - 927
1 + 1 = 2,
2 x 2 = 4,
4 x 5 = 20,
20 x 5 = 100,
100 x 9 = 900.
Cas n°3 : il y a exactement deux 1 et deux 2
C'est le cas limite. Dans cette situation, il ne faut pas ajouter les 1 entre eux, mais ajouter chaque 1 à chaque 2 : en effet, (1 + 1) x 2 x 2 = 8 est plus petit que (1 + 2) x (1 + 2) = 9. On multiplie à nouveau tout ensuite. Par exemple :
1 1 2 2 3 25 - 707
1 + 2 = 3,
1 + 2 = 3,
3 x 3 = 9,
9 x 3 = 27,
27 x 25 = 675.
Bonne journée !
Vous savez tout ! Ces comptes sont assez rares, mais il n'empêche qu'il faut bien connaître la méthode ci-dessus, au demeurant très simple, pour les résoudre systématiquement. C'est ce que l'on pourrait appeler la "méthode de Bertrand", que notre cher Bertrand aime bien rabâcher aux candidats à l'émission, mais n'explique pas forcément dans tous les détails. Il faut en particulier faire attention au cas n°3 qui est sûrement le moins connu.
Pour aller (toujours) plus loin...
Il peut arriver que les plaques d'un compte soient très petites, mais que le plus grand nombre constructible dépasse le nombre à trouver. Que faire dans cette situation ? Je ne connais pas de méthode systématique pour s'approcher le plus possible, les solutions pouvant varier d'un tirage à un autre. Voici tout de même quelques idées.
Le principe est de réduire progressivement le résultat obtenu par la première méthode pour s'approcher de plus en plus du nombre à trouver. Lorsqu'on dispose d'un seul 1, on peut essayer de l'ajouter non plus à la plus petite plaque, mais à d'autres plaques de plus en plus grandes. Voyons cela sur un exemple :
5 1 2 3 8 3 - 847
Le plus grand nombre atteignable est (1 + 2) x 5 x 3 x 8 x 3 = 1080. En ajoutant le 1 à d'autres plaques de plus en plus grandes, voilà ce qu'on obtient :
- (1 + 3) x 5 x 2 x 8 x 3 = 960
- (1 + 5) x 2 x 3 x 8 x 3 = 864
- (1 + 8) x 5 x 2 x 3 x 3 = 810.
À ce stade, l'approche la plus satisfaisante est 864. Est-ce toutefois la meilleure approche ? On s'aperçoit que 864 et 810 encadrent 847; pour obtenir un nouveau résultat compris entre ces deux nombres (et donc potentiellement plus proche de 847), on doit ajouter le 1, non plus à une seule plaque, mais à un produit d'autres plaques, pour construire un facteur compris entre 1 + 5 = 6 et 1 + 8 = 9. On ne peut pas construire 8, mais on peut construire 7 par 2 x 3 + 1 = 7. On obtient :
(2 x 3 + 1) x 5 x 8 x 3 = 840.
Cette fois, 840 est la meilleure approche !
Lorsqu'on dispose de deux 1, on peut essayer d'appliquer le même principe et de les ajouter ainsi à des plaques ou des produits de plaques plus grands. Par exemple :
1 1 2 3 5 7 - 357
1 + 2 = 3,
1 + 7 = 8,
3 x 8 = 24,
24 x 3 = 72,
72 x 5 = 360.
Exercices
Pour terminer, vous pouvez essayer de vous exercer sur les comptes suivants (voir les solutions en commentaire de l'article) :
- 1 2 3 3 4 5 - 517
- 1 3 3 4 5 5 - 999
- 1 1 2 3 4 5 - 209
- 1 2 2 3 5 7 - 540
- 1 2 2 3 5 9 - 669
- 2 2 3 3 4 4 - 497
Bonne journée !
Les solutions des comptes :
RépondreSupprimer1 2 3 3 4 5 - 517
(2 + 1) x 3 x 3 x 4 x 5 = 540
-----
1 3 3 4 5 5 - 999
(3 x 3 + 1) x 4 x 5 x 5 = 1000
-----
1 1 2 3 4 5 - 209
(1 + 2) x (1 + 5) x 3 x 4 = 216
-----
1 2 2 3 5 7 - 540
(2 x 2 + 1) x 3 x 5 x 7 = 525
-----
1 2 2 3 5 9 - 669
(2 x 2 + 1) x 3 x 5 x 9 = 675
-----
2 2 3 3 4 4 - 497
(2 + 3) x 2 x 3 x 4 x 4 = 480
Juste une petite coquille, sur le 847 tu as écrit "1+5=9". Je pense que tu voulais écrire "1+8=9". Sinon, je rate le 209, bien plus tordu qu'il n'en a l'air
RépondreSupprimerMerci Florian, je corrige !
SupprimerBonjour
SupprimerJuste pour exposer une autre méthode de recherche de la meilleure approche. Une autre façon de dire exactement la même chose . Je ne dis pas que c'est mieux ou moins bien, plus efficace ou plus lent. C'est juste une façon de systématiser la recherche "dichotomique" très bien présentée ci-dessus.
C'est particulièrement adapté lorsqu'il y a un "1" dans les plques du tirage. Et comme c'est plus long à expliquer qu'à appliquer, prenons directement l'exemple du compte 847 plus haut:
1 2 3 3 5 8 - 847
1) Multiplions toutes les plaques entre elles et évaluons le "delta" avec le compte à trouver
2.3.3.5.8 = 720 -> delta = 847 - 720 = 127
2) On décompose le précédent produit en une suite de produits de 2 facteurs, où le 1er facteur doit pouvoir être obtenu avec les plaques du tirage. On range ces produits en faisant croitre le 1er facteur, de la façon suivante:
2.3.3.5.8 = 720 (delta = 127)
= 2.360
= 3.240
= 5.144
= 6.120
(= 8.90)
On fait croitre le 1er facteur, et donc décroitre le 2e facteur. On peut s'arrêter dès qu'avec ce 2e facteur on a encadré le delta à approcher. Ici cela se joue entre 144 et 120 pour approcher 127. C'est 120 le plus proche de 127. Et donc c'est ici qu'il faut "glisser" le "1", en l'ajoutant au 6, pour finalement ajouter 120 au produit intermédiaire 720, donnant 840:
3.5.8 = 120
3.2 = 6
(6+1).120 = 840
La méthode peut de généraliser même lorsqu'il n'y a pas de "1" dans les plaques. Mais c'est encore plus long à exposer qu'à appliquer... :-)
M.G.
PrécisionS ... 1- qqes formules avant exemples... :-D
Supprimer* Distributivité "simple"
Précision : La méthode décrite ci-dessus s'applique dans le cas où l'on "glisse" une seule plaque dans le produit intermédiaire. C'est la distributivité parfois qualifiée de "simple" :
(A+p).B = A.B + p.B
où p est la petite plaque mise de côté, ici un "1"
Cela ne suffit pas pour rechercher d'autres approches avec deux plaques "1" à "glisser" dans le produit A.B. Sauf celle consistant à ajouter les deux plaques 1 pour former un 2 que l'on '"distribuer" ensuite en formant (A+2).B
Essayons là-aussi de systématiser la recherche de la meilleure approche dans les exemples exposés dans l'article ci-dessus : le compte 357 et l'exercice N°3 où "209" est "plus tordu qu'il nten a l'air...
Là encore, les explications sont plus compliquées à exposer que l'application sur ces exemples. On a toutefois besoin de deux petites formules, exposées ici en préalable.
* Distributivité "double" sur deux facteurs
Dans le cas où l'on a deux "1", ou de façon plus générale deux plaques p et q que l'on veut glisser" dans le produit A.B, on va utiliser le produit (parfois qualifié de "double distributivité"):
(A+p).(B+q) = A.B + (Aq + Bp + pq) = A.B + "RAJOUT"
où "RAJOUT" est ce qu'on RAJOUTE finalement en "glissant" les deux plaques p et q de cette façon
Dans le cas où les deux plaques p et q sont deux plaques "1", le RAJOUT se réduit à
RAJOUT = (A+B+1)
Cela veut dire qu'en "glissant" ainsi les deux "1", on rajoute (A+B+1) au produit intermédiaire A.B
* Distributivité "double" sur trois facteurs
Enfin, pour "aller plus haut", on peut considérer des produits de 3 facteurs, en distribuant les deux plaques "1" sur les deux premiers facteurs.
Considérons pour simplifier un tirage avec deux plaques "1", et le produit intermédiaire que l'on obtient en multipliant entre elles toutes les autres plaques. Écrivons ce résultat intermédiaire sous forme de trois facteurs :
A.B.f3
Pour rester cohérent avec ce qui précède, on a appelé ici A et B les 2 premiers facteurs, et f3 le troisieme facteur (qui ne sonne qu'une fois). On sait que l'on va glisser les deux "1" résiduels pour former (A+1).(B+1);
Et donc on obtient alors un RAJOUT-TOTAL qui est :
RAJOUT-TOTAL = RAJOUT . f3 = (A+B+1).f3
.../...
...
Ceci étant posé, voyons comment l'appliquer sur deux des exemples donnés dans l'article ci-dessus.
.../...
Dans le premier exemple, on va exposer séparément les calculs utilisant la simple distributivité, puis la double distributivité. Dans le 2e exemple, on essaiera d'aller plus vite...
SupprimerCommençons par l'exemple
1 1 2 3 5 7 - 357
> On écrit le produit des autres plaques, et le "delta" à approcher
2.3.5.7 = 210 , delta = 357-210= 147
> Essais avec la simple distributivité.
Remarquons que, puisqu'il reste deux plaques "1", on peut distribuer un seul de ces deux "1", ou bien les additionner entre eux et distribuer le "2" qui en résulte. On écrit les deux "delta approchés" donnés par ces deux façons de distribuer les deux 1 avec une distributivité "simple"
210 = 2.105 -> +105 ou +210, 105 plus proche de 147 -> compte approché = (2+1).(3.5.7) = 3.105= 315
210 = 3.70 -> +70 ou +140 , 140 plus proche de 147 -> compte le plus approché = (3+1+1).(2.5.7) = 5.70= 350
210 = 5.42 -> +42 ou +84 , on s'éloigne de la solution précédente
Compte "le plus approché"" pour le moment : 350 (pour 357),
ou encore, par rapport au produit 210, delta le plus proche jusqu'ici = 140
> Avec la double distributivité sur deux facteurs.
On va rajouter les "1" pour former
(A+1).(B+1) = A.B + RAJOUT
où RAJOUT = A+B+1
2.3.5.7 = 210 , delta=147
210 = 2.105 -> RAJOUT = (2+105+1) = 108
On s'arrête-là, puisque le delta approché est déjà inférieur à 147. En effet, si on continue:
210 = 3.70 -> RAJOUT = (3+70+1) = 74 -> on s'est éloigné de 147
> Double distributivité sur trois facteurs
On va rajouter les "1" pour former (A+1).(B+1).f3
et calculer RAJOUT TOTAL = (A+B+1).f3 que l'on doit comparer au "delta" à approcher
2.3.5.7 = 210 , delta=147
210 = 2.3.35 -> RAJOUT TOTAL = (2+3+1).35 = 210
210 = 2.5.21 -> RAJOUT TOTAL = (2+5+1).21 = 176
210 = 2.7.15 -> RAJOUT TOTAL = (2+7+1).15 = 150 -> c'est le plus proche de 147 jusqu'ici
210 = 3.5.14 -> RAJOUT TOTAL = (3+5+1).14 = 126 -> on s'est éloigné de 147
FINALEMENT:
* la meilleure approche est à 210+150=360, en "glissant"" les deux 1 sur 2 et 7:
3.5 = 15
2 + 1 = 3
7 + 1 = 8
3.8.15= 360 (ou 210 + 150)
* alors qu'avec la distributivité "simple" sur le 3 (en lui ajoutant les deux 1), on s'était approché à 210+140=350 :
3+1+1=5
2.5.7=70
5.70=350
.../...
errata: Remplacer 176 par 168 dans (2+5+1).21=...
SupprimerA quoi correspond la photo avec les chiffres en spirale ?
RépondreSupprimerChacun y verra sa propre interprétation; personnellement, je trouve que l'image illustre bien l'idée d'un très grand nombre, si grand qu'il semble s'écrire jusqu'à l'infini. Voilà pourquoi je l'ai choisie pour cet article intitulé "Le plus grand nombre" !
SupprimerJe pensais que c'était peut-être les décimales de Pi ou quelque chose comme ça
SupprimerVoyons enfin s'il est possible d'utiliser "efficacement" cette "systématisation" pour se rapprocher du compte "209", qui est effectivement "bien plus tordu qu'il n'en a l'air", comme le dit si bien Florian.
RépondreSupprimerLégende
DS = Distributivité Simple
DD = Dictributivité Double
1 1 2 3 4 5 - 209
2.3.4.5 = 120 , delta = 89
120 = 2.60 -> DS: +60 (ou +120) ... ou DD: +(2+60+1)= +63 (en faisant (2+1).((3.4.5)+1)= 3.61= 183 = 120+63)
120 = 3.40 -> DS: +40 ou +80 -> meilleure approche actuelle avec +80 soit (3+1+1).(2.4.5)=120+80=200
120 = 4.30 -> +30 ou +60 (moins bien)
On passe à la DD sur 3 facteurs A.B.f3 -> (A+1).(B+1).f3 = AB + (RAJOUT TOTAL = (A+B+1).f3 )
120 = 2.3.20 -> RAJOUT TOTAL = (2+3+1).20 = 120
120 = 2.4.15 -> RAJOUT TOTAL = (2+4+1).15 = 105
120 = 2.5.12 -> RAJOUT TOTAL = (2+5+1).12 = 96 -> meilleure approche actuelle à 7 de 89
120 = 3.4.10 -> RAJOUT TOTAL = (3+4+1).10 = 80
-> On a fini d'encadrer le delta recherché (89) par 96 et 80
Donc la meilleure approche est à 7 du compte, via 120+96 = 216 ,
avec (2+1).(5+1).(3.4)
On a trouvé au passage deux approches à 9 via 120 + 80 = 200 avec:
(3+1+1).(2.4.5) = 120 + 2.40 = 200
ou bien avec la DD sur 3 et 4:
(3+1).(4+1).(5.2) = 120 + (3+4+1).10 = 200
(fin)
dommage qu'on ne puisse pas corriger ;-)
SupprimerLire donc
(A+1).(B+1).f3 = A.B.f3 + (RAJOUT TOTAL = (A+B+1).f3 )
et non pas
(A+1).(B+1).f3 = A.B + (RAJOUT TOTAL = (A+B+1).f3 )
:-/
Merci pour toutes ces explications Michel, voilà qui est très intéressant. La distributivité (simple ou double) me semble effectivement être une excellente façon de traiter ce type de comptes : il s'agit de distribuer sur le produit des plaques différentes de 1, en jouant justement avec le(s) 1 restant(s). J'aime bien en particulier cette distinction entre "distributivité double sur deux facteurs" et "distributivité double sur trois facteurs"; j'ai justement entamé la rédaction d'un article sur la double distributivité, et je vais certainement reprendre ces concepts, par ailleurs tous deux très bien illustrés par les deux comptes donnés par Vincent dans le commentaire ci-après. Une fois que ce sera fait, il pourrait être intéressant de revenir sur la problématique ici abordée; peut-être referais-je un nouvel article sur le sujet.
SupprimerEn tout cas, merci encore pour ces éclaircissements !
Pas toujours facile à traiter ce genre de comptes, surtout qu'effectivement il faut pouvoir explorer plusieurs pistes en un temps assez court. Par exemple les deux comptes suivants avec deux 1 peuvent s'avérer piégeux :
RépondreSupprimer1 1 2 3 5 9 - 339
1 1 2 3 8 8 - 493
Je suis bien d'accord Vincent.
SupprimerMerci par ailleurs pour ces deux comptes très intéressants. J'y ai consacré un peu de temps, et je me suis aperçu qu'on peut s'en tirer par double distributivité sur le produit des plaques différentes de 1. Par exemple sur le second :
2 x 3 x 8 x 8 = 384, il faut rajouter 109; on distribue une première fois pour ajouter 1 x 2 x 8 x 8 = 128, et une deuxième fois pour retrancher 1 x 2 x 8 = 16, on arrive à la meilleure approche à 496 :
((3 + 1) x 8 - 1) x 2 x 8 = 496.
Sur le premier, on peut s'en sortir autrement sans trop de mal pour peu qu'on ait l'intuition de construire 340...
Je vais sûrement reprendre ces deux comptes pour un futur article sur la double distributivité !
Oui Antonin on peut trouver la meilleure approche par distributivité sur ces exemples. Pour le premier on peut par exemple aussi partir sur (3+1)x9x2x5=360, et on enlève 20=4x5 avec le 1. Ces exemples avaient juste pour but de montrer que lorsque le nombre à trouver est bien en-dessous du maximum possible, on peut être amené à retrancher 1 au lieu d'ajouter 1. Comme tu le dis très bien dans ton article, ajouter le ou les 1 n'est pas systématique sur ce type de compte et les méthodes de résolution peuvent varier d'un tirage à l'autre...
SupprimerIl doit quand même y avoir moyen de savoir assez simplement à partir de quand ces techniques d'ajouter 1 (par ex. celle détaillée par Michel) cessent de donner les bons "sous-maximums" successifs. Cela fait bien longtemps que je dois y réfléchir sérieusement mais je ne trouve jamais le temps...