La double distributivité

Bonjour à tous,

La rubrique intitulée "Chiffres (avancé)" s'ouvre aujourd'hui avec un article sur la double distributivité. Cette rubrique va plus loin que la première baptisée "Chiffres (standard)" en s'intéressant aux techniques plus pointues, et donc plus difficiles à appréhender, occasionnellement très utiles, voire indispensables, pour la résolution des comptes les plus retors. J'insiste bien sur le caractère occasionnel, la plupart des comptes se résolvant ou s'approchant déjà très bien avec des méthodes plus élémentaires telles que la distributivité simple ou les divisibilités, entre autres. Si vous n'êtes pas très à l'aise en chiffres, je ne recommande donc pas particulièrement la lecture des articles ici présentés. À vous de voir !

Avant d'aller plus loin et d'entrer dans le vif du sujet, je vous suggère fortement de maîtriser la distributivité simple, comme expliquée dans l'article dédié. La distributivité double reprend le principe de la distributivité simple : elle consiste, comme son nom l'indique, à distribuer deux fois.

Pour bien comprendre ce qui va suivre, rappelons que dans notre jeu, la distributivité a pour effet de transformer un produit de plusieurs facteurs, afin d'ajouter ou de soustraire au résultat de ce produit une certaine quantité, généralement pour se rapprocher du compte à trouver (mais pas toujours). La distributivité simple consiste à n'agir que sur un seul facteur d'un produit donné. Par exemple, partant du produit 6 x 100 = 600, pour ajouter 6 x 7 = 42 au résultat, on agit sur le facteur 100 en lui ajoutant 7 :

6 x (100 + 7) = 6 x 100 + 6 x 7 = 642.

Jusque là, nous n'avons fait que reprendre ce qui a déjà été exposé dans le précédent article. La distributivité double, quant à elle, consiste à agir, non plus sur un seul facteur, mais sur deux facteurs, d'un produit donné. Nous allons distinguer deux formes de distributivité double : à chaque fois, nous commencerons par une explication formelle, avant une mise en pratique sur des exemples concrets.

La distributivité double à deux facteurs

Étant donnés des nombres (entiers) a et b d'une part, et k et l d'autre part, la distributivité double à deux facteurs consiste à transformer le produit a x b en agissant sur chacun des deux facteurs à l'aide de k et l, via l'identité :

(a + k) x (b + l) = a x b + a x l + b x k + k x l.

Cela peut sembler abrupt, mais correspond en fait plus simplement au processus suivant. On distribue une première fois sur le produit a x b, par rapport à b, pour ajouter k x b :

(a + k) x b = a x b + k x b.

On obtient un nouveau produit, A x b, avec A = a + k. On distribue alors une seconde fois sur le produit A x b, par rapport à A cette fois-ci, pour ajouter A x l :

A x (b + l) = A x b + A x l.

Bien entendu, dans les distributivités ci-dessus, les additions peuvent être remplacées par des soustractions, en fonction de si l'on souhaite augmenter ou diminuer le résultat du produit.

Exemple

Essayons sur le compte ci-après :

1 1 2 3 5 9 - 339

Partons du produit de base 2 x 3 x 5 x 9 = 270 de 4 facteurs, auquel on doit ajouter 69. Les possibilités de distributivité sont nombreuses, il faut donc faire preuve d'astuce, et tester plusieurs combinaisons possibles.

Faisons une première tentative en distribuant une première fois par rapport à 2 x 3 x 9 pour ajouter 1 x 2 x 3 x 9 = 54 :

(5 + 1) x 2 x 3 x 9 = 6 x 2 x 3 x 9 = 324.

L'objectif est à présent de distribuer une seconde fois sur ce nouveau produit pour ajouter 15. Seulement, on ne peut ajouter que 12 = 1 x 6 x 2 ou 18 = 1 x 2 x 9 = 1 x 6 x 3, ce qui nous fournit dans tous les cas une approche à 3 près, comme celle-ci :

(5 + 1) x 2 x (3 x 9 + 1) = 336.

Retentons notre chance en distribuant une première fois par rapport à 2 x 5 x 9 pour ajouter 1 x 2 x 5 x 9 = 90 :

2 x (3 + 1) x 5 x 9 = 2 x 4 x 5 x 9 = 360.

Cette fois, il faut retrancher 21. C'est impossible, mais on peut retrancher 20 = 1 x 4 x 5, ce qui nous fournit une approche à 1 près :

(2 x 9 - 1) x (3 + 1) x 5 = 340.

C'est la meilleure approche ! Voilà ce qu'est une distributivité double à deux facteurs.

Distributivité double à trois facteurs

La distributivité double à trois facteurs est à mon sens plus facile à appréhender (et surtout à mettre en œuvre en situation réelle) que la précédente. Elle consiste à transformer un produit de trois facteurs (au moins) a x b x c, toujours à l'aide de deux nombres k et l, via l'identité :

a x (b x (c + k) + l) = a x b x c + k x a x b + l x a.

Le processus inhérent est le suivant. On distribue une première fois sur le produit a x b x c, par rapport à a x b, pour ajouter k x a x b :

a x b x (c + k) = a x b x c + k x a x b.

On obtient un nouveau produit, a x B, avec B = b x (c + k). On distribue alors une seconde fois sur le produit a x B, par rapport à a, pour ajouter l x a :

a x (B + l) = a x B + l x a.

Au bout du compte, on a transformé le produit a x b x c à l'aide de combinaisons des facteurs a x b et a.

À nouveau, dans les distributivités ci-dessus, les additions peuvent être remplacées par des soustractions si nécessaire.

Exemple 1

Voici un premier compte :

7 9 2 4 5 25 - 782

La double distributivité n'est certes absolument pas nécessaire ici, puisque la table des 25 permet d'aboutir très facilement au résultat. Cela n'a que peu d'importance, le but étant d'assimiler le principe de la double distributivité au moyen d'un exemple concret.

Partons donc du produit de base 4 x 7 x 25 = 700, auquel on doit ajouter 82. On va jouer sur les facteurs 4 x 7 et 7. Dans un premier temps, on distribue par rapport à 4 x 7 pour ajouter 2 x 4 x 7 = 56 :

(25 + 2) x 4 x 7 = 756.

Il manque encore 26. On distribue à présent par rapport à 7 pour ajouter 5 x 7 = 35 :

((25 + 2) x 4 + 5) x 7 = 791.

Bilan des courses, on a ajouté 2 x 4 x 7 + 5 x 7 = 91; il ne reste plus qu'à retrancher 9.

Exemple 2

Ce second compte est plus marquant, car la double distributivité est cette fois-ci absolument nécessaire :

1 3 4 7 7 25 - 565

Un produit de base plutôt naturel est 3 x 7 x 25 = 525, auquel on doit ajouter 40. On va jouer sur les facteurs 3 x 7 et 7. Dans un premier temps, on distribue par rapport à 3 x 7 pour ajouter 1 x 3 x 7  = 21 :

3 x 7 x (25 + 1) = 546.

Il manque encore 19. On distribue à présent par rapport à 3 pour ajouter 4 x 3 = 12 :

((25 + 1) x 7 + 4) x 3 = 558.

Bilan des courses, on a ajouté 1 x 3 x 7 + 4 x 3 = 33; il ne reste plus qu'à rajouter 7.

Exercices

Voici quelques comptes supplémentaires pour vous entraîner à appliquer la double distributivité :

• 2 2 4 5 6 8 - 885
• 1 1 2 3 8 8 - 493
• 1 1 2 4 4 25 - 491
• 1 1 2 2 3 75 - 512
• 1 2 3 4 5 6 - 470
• 1 1 2 3 4 5 - 186

Bonne journée !